福島民報力だめし（数学43）
2012-03-05
【2】（５）立体の体積と表面積を求める問題。 まず体積から。
円すいの部分と円柱の部分の２つに分けて計算します。
底面の半径は三平方の定理から、
102-(14-6)2=36より、（半径）＝6
よって、（円すいの体積）＝6×6×π×（14-6）×1/3=96π
（円柱の体積）＝6×6×π×6=216π
立体の体積は、96π+216π=312πとなります。
続いて表面積。
まず、上の扇形の部分の面積を求めます。
扇形の弧の長さは、底面の円周と同じ長さなので、
2×π×6=12π
よって、扇形の面積は、
1/2×12π×10=60π・・・��
次に円柱部分の表面積。
縦6ｃｍ、横12πの長方形なので、面積は、
6×12π=72π・・・��
最後に底面の面積、
6×6×π=36π・・・��
� 椨◆椨�＝168πが立体の表面積になります。
【3】連立方程式の問題。
12％の食塩水をｘｇ、4％の食塩水をｙｇとします。
x+y=280・・・��
0.12x+0.04y=0.06×280・・・��
� �4-�◆�100として、
4x+4y=1120
12x+4y=1680より、-8x=-560,x=70・・・��
��を�，紡綟�、y=280-70=210
１２％の食塩水70ｇ、４％の食塩水210ｇとなります。
【4】
（１）AB2+BC2=AC2より、ＡＣ2=72、ＡＣ=6ﾙｰﾄ2
頂点ＯからＡＢＣＤに引いた垂線とＡＢＣＤとの交点をＥとおくと、
OE2=OA2-1/2AC2=81-18=63,OE=3ﾙｰﾄ7
よって、求める体積は、
6×6×3ﾙｰﾄ7×1/3=36ﾙｰﾄ7
となります。
（２）三角形ＯＡＢの面積を２通りの方法で算出します。
点Ｏから辺ＡＢに垂線を引いたとき、その垂線の長さは、
OA2-1/2AB2=81-9=72より、6ﾙｰﾄ2となります。
よって、三角形ＯＡＢの面積は、
6×6ﾙｰﾄ2×1/2=18ﾙｰﾄ2・・・��
また、三角形ＯＡＢの面積は、
OA×BH×1/2・・・�△箸靴討睇修擦泙后�
� 甅△覆里如�OA=9より、
�△�9/2ＢＨ、
9/2ＢＨ＝18ﾙｰﾄ2、9ＢＨ=36ﾙｰﾄ2、ＢＨ=4ﾙｰﾄ2となります。
（３）
三角形ＡＢＨは直角三角形なので、
ＡＨ2=ＡＢ2-ＢＨ2＝36-32=4、ＡＨ=2
よって、OA:HA=9:2
ＨからＡＢＣＤに引いた垂線とＡＢＣＤの交点をＦとおくと、
OE:HF=OA:HA=9:2となります。
OE=3ﾙｰﾄ7より、
3ﾙｰﾄ7：HF=9:2,9HF=6ﾙｰﾄ7、HF=2/3ﾙｰﾄ7
よって、求める体積は
6×6×2/3ﾙｰﾄ7×1/3=8ﾙｰﾄ7
となります。
福島民報力だめし（理科42）
2012-03-02
【1】湿度の計算問題。
（１）17.3÷21.8×100=79.3・・・
整数で求めるので、79％となります。
（２）16度の飽和水蒸気量が13.6ｇなので、
17.3-13.6=3.7ｇの水滴ができます。
室内の大きさは、
4×6×2.5=60�屬茲蝓�
3.7×60=222ｇとなります。
（３）飽和水蒸気量をｘｇとすると、
17.3/ｘ×100=71
という式が成り立ちます。
ここからｘを求めます。
1730/ｘ＝71、71ｘ＝1730、ｘ＝24.36・・・
飽和水蒸気量の表から一番近いのは、26度のところより、
答えは約26℃となります。
【2】化学変化の計算問題。
（１）質量比は覚えておくと計算が楽ですが、
物質によって異なりますので、間違った質量比を使わないように、
注意しましょう。
（２）酸素をｘｇとすると、
4.5:x=3:2なので、
3x=9.0,x=3.0
（３）マグネシウムと化合した酸素をｘｇとすると、
1.8:x=3:2,3x=3.6,x=1.2
よって、酸化マグネシウムの質量は、1.8+1.2=3.0・・・��
銅と化合した酸素をｙｇとすると、
8.4：y=4:1,4y=8.4,y=2.1
よって、酸化銅の質量は、8.4+2.1=10.5・・・��
� 椨△茲蝓∋晴淑�の質量は13.5ｇとなります。
（４）9.9-6.9=3.0ｇが酸化するときに加わった酸素の質量です。
これに必要なマグネシウムの質量をｘｇとすると、
x:3.0=3:2より、2x=9.0,x=4.5ｇとなります。
加熱する前の質量は6.9ｇなので、
6.9-4.5=2.4ｇが最初の混合物に含まれている酸化マグネシウムの質量です。
（５）質量比より、酸化銀のうち29分の2が酸素だと考えます。
23.2×2/29=1.6より、
1.6ｇとなります。
【3】仕事の計算
（１）図１は動滑車ですので、引く力は半分になります。
（２）図１は動滑車ですので、引く距離は2倍になります。
（３）
Aの仕事：240×3.0=720J
Bの仕事：320×2.5=800J
（４）
Aの仕事率：720÷6=120W
Bの仕事率：800÷8=100W
福島民報力だめし（数学４２）
2012-03-02
【2】円周角と弧の関係から、
∠ADB＝∠ACB＝30°
また、点Aと点Bを結ぶと、∠ABC＝90°となります。
よって、三角形ABCは、30°、60°、90°の直角三角形になります。
あとは、辺の比から円Oの半径を求めます。
AC：BC＝2：ﾙｰﾄ3、BC=3ｃｍより、AC＝3×2÷ﾙｰﾄ3=2ﾙｰﾄ3
円Oの半径＝AC÷2＝ﾙｰﾄ3 となります。
【3】、【4】は解答に解説が掲載されているので省略します。
【5】
（１）点Aの座標は（-2,4）
点Bの座標は（4,16）
点Cの座標は（0,16）とあらわせます。
四角形CAOB＝三角形OAC＋三角形OBCなので、それぞれの三角形の面積を求めます。
三角形OAC＝16×2×1/2=16
三角形OBC＝16×4×1/2=32
よって四角形CAOBの面積は16+32=48となります。
（２）、（１）より、五角形CAOED＋三角形DEB＝48なので、
面積比から、
五角形CAOEDは、48×5/8=30、
三角形DEBは、48×3/8=18、の面積と考えられます。
次に点Dと点Eの座標を求めます。
点DはBC上にあるので、(t,16)となります。
点EはOB上にあります。
直線OBの式は点O(0,0),B(4,16)と比例の式になるので、
y=4xとあらわせます。
よって、点Eの座標は（t,4t)となります。
最後に三角形DEBの面積をｔで表します。
DE×DB×1/2=(16-4t)×(4-t)×1/2=18
これを整理して、(4-t)2=9,4-t=±3、t=1,7
0<t<4なので、t=1となります。
福島民報力だめし（数学41）
2012-02-28
【４】放物線と一次関数の問題。（１）２点A,B共にy=1/4x2上にあるので、それぞれのｘ座標を代入し、
ｙ座標を求めます。
（Aのｙ座標）＝1/4×（-4）×（-4）＝4、点A（-4,4）
（Bのｙ座標）＝1/4×8×8＝16、点B（8,16）
２点A、Bをとおるので、y=ax+bに代入します。
4=-4a+b・・・��
16=8a+b・・・��
��-��-12=-12a,a=1・・・��
��を�，紡綟�。
4=-4+b,b=8
よって、y=x+8となります。
（２）
直線ABから点O、点Pへの距離（高さ）が等しくなるには、
直線OPは直線ABと平行でなくてはなりません。
（１）より、直線ABの傾きは１ですので、
直線OPも傾きは１になります。
y=x+bとあらわせます。
この式が原点（0,0）をとおるので、代入します。
0＝0+b、b=0となり、答えは、y=xとなります。
（３）直線OBの中点(4,8)と、A（-4,4）をとおる直線の式を求めます。
それぞれの座標の値をy=ax+bに代入します。
8=4a+b・・・��
4=-4a+b・・・��
��-��4=8a,a=1/2・・・��
��を�，紡綟�、
8=2+b,b=6
よってy=1/2x+6となります。
福島民報力だめし（数学４０）
2012-02-15
【1】（３）立体の体積を求める問題。 台形とは考えずに、大きな円すいから小さな円すいを
とった形と考えてください。
大きな円すいの高さをｘとすると、辺の比の関係から
6：3＝ｘ：（ｘ-6）となります。
これを解くと、ｘ＝１２となります。
大きな円すいの体積は、
6×6×π×12×1/3＝144π・・・��
です。
次に小さな円すいの体積を求めます。
高さは12-6＝6なので、体積は、
3×3×π×6×1/3＝18π・・・��
です。
よって、求める体積は� 櫚◆�126πとなります。
【2】（２）y=ax2
�（儖茲魑瓩瓩詭簑蝓�
ｘの変域が０を含んでいますので、ｙの変域の片方は０だと考えます。
−２と３とでは３の方が０からの距離（絶対値）が大きいので、
ｘ＝３を式に代入し変域の値を求めます。
ｙ＝２×３×３＝１８、よって、ｙの変域は、
０≦ｙ≦１８となります。
�∧儔修粒箙腓蓮�yの増加量）／（ｘの増加量）で表せます。
ｘの増加量は４−１＝３
ｙの増加量は２×４×４−２×１×１＝３０
よって、３０÷３＝１０となります。
【3】方程式の文章題。
Aさん、Bさん、Cさんそれぞれの支払った額をA,B,Cとします。
3人の支払った額は15000円なので、
A+B+C=15000・・・��
また、Bさんの支払額はAさんCさんの合計の2/3なので、
B=（A+C)×2/3・・・��
�，蓮�B＋（A+C)＝15000・・・� 任箸發い┐襪里如△海譴豊△鯊綟�します。
B＋3/2B＝15000、5/2B＝15000、5B＝30000、B＝6000となります。
Aさんの支払った金額はBさんより1700円少ないので、
6000-1700＝4300円、
Cさんの支払った額は、15000-6000-4300＝4700円となります。
問題では、3人の支払額が同じになるように、差額をBさんに支払うので、
Aさんは5000-4300＝700円を、
Cさんは5000-4700＝300円をそれぞれBさんに支払うことになります。
【4】一次関数・相似の問題。
（１）まず直線ｌの式を求めます。
(0,3),(3,0)を通るので、傾きが-1、切片が3です。
よって、y=-x+3となります。
次に点Pの座標を求めます。ｘ座標が２なのでｙ座標は-2＋3＝1です。
直線ｌはO(0,0),P(2,1)をとおるので、傾きが1/2、切片が0です。
よって、y=1/2xとなります。
（２）
i)三角形PCBが三角形POAより上にある場合。
ｘ座標だけを見ると、
AP:BP＝（3-2）：BP＝2：1ですので、BP＝1/2となります。
Pのｘ座標は2なので2-1/2＝3/2がBのｘ座標です。
点Bのｙ座標は-3/2＋3＝3/2となります。
同様にCについて、OP：CP＝2：1なので、
（Pのｘ座標）＋1＝3となります。
y座標は1/2×3＝3/2です。
よって、
B(3/2,3/2）、C(3,3/2）となります。
ii)三角形PCBが三角形POAと同じ側にある場合。
これもｘ座標だけを見ます。
今度はBは、Pよりも右側にあるので、
2＋1/2＝5/2がBのx座標となります。
Bのy座標は、-5/2+3=1/2です。
同様にCについて、CはPよりも左にあるので、
（Pのｘ座標）-1＝1となります。
ｙ座標は1/2×1=1/2です。
よって、
B(5/2,1/2),C(1,1/2)となります。
