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福島民報力だめし(2016数学39) ~1次関数の文章題~

 2017-01-20
数学の39回目は図形の証明、1次関数の文章題ですね。

【1】は特に解説するところはありません。【2】は解答に証明の例が載っているので説明は不要でしょうね。

ですので、【3】の1次関数の文章題から解説します。

【3】ダイヤグラムの問題



運行のようすがグラフになっています。縦軸をy(km)、横軸をx(分)としてみます。ただし、8:00のところを0として、9:00のところを60とみましょう。ここがポイントです。

(1)問題文から10分で6km進むので、60分だと6の6倍で36km進みますので、毎時36kmとなります。

(2)8:00A駅発の列車は、点(0,0)と点(10,6)を通ります。原点を通るので比例の式y=axにx=10、y=6を代入すると、この直線の式は、

y=0.6x・・・①

次に8:05B駅発の列車は、グラフより、点(5,6)と点(15,0)を通ります。A駅発の列車と速度は同じですので、傾きは-0.6となります。

y=-0.6x+bにx=15、y=0を代入するとb=9となりますので、この直線の式は、

y=-0.6x+9・・・②

①と②の連立方程式を解きます。
①-②より、
0=1.2x-9

1.2x=9

12x=90

x=7.5・・・③

③を①に代入して、

y=0.6×7.5=4.5

よってA駅から4.5kmのところとなります。

(3)8:05分にA駅から出発しますので、点(5,0)を通ります。
また、毎分120mでB駅まで進むので、6km(6000m)離れたB駅に着くのは、

6000÷120=50(分後)

の8:55分です。よって、点(55,6)を通ります。

この2点を直線で結んで、他の直線と交わる箇所を数えてみます。

①A駅を8:20と8:30に出発した列車に抜かれますので2回です。

②B駅を8:05、8:15、8:35、8:45に出発した列車に出会いますので4回です。

【4】水を入れる量と水そうの深さとの関係を求める問題



(1)下の容器は、60×60×30=54000立法センチメートルですので、54リットル水が入ります。毎分9リットルの割合で水を入れるので、54÷9=6分後には下の水そうは満杯になります。

よって、xの変域は0≦x≦6ですね。

次にyをxの式で表します。
xが0(分)のとき深さであるyも0(センチ)ですので、比例の式y=axです。また、xが6(分)のとき、yは60(センチ)の深さになるので、x=6、y=60をy=axに代入するとa=10となります。

よって、直線の式はy=10xです。

(2)上の容器の体積は、20×20×60=24000立方センチメートルですので、24リットル水が入ります。毎分9リットルの割合で水を入れると、24÷9=8/3(3分の8)分後に満杯になります。

(1)のようにxの変域を表すと、0≦x≦8/3となるのですが、上の容器に水が入るのは6分後からですので、変域のそれぞれの値に6を足します。

8/3+6=26/3(3分の26)ですので、xの変域は、6≦x≦26/3となりますので気を付けましょう。

また、これもyをxの式で表すのですが、下の容器のことも考えなくてはいけません。

x=6のときy=60、x=26/3のときy=120となります。これを1次関数の式y=ax+bに代入して、a,bを求めます。

すなわち、次の連立方程式を解きます。

60=6a+b・・・①
120=26/3a+b・・・②

②-①より、
60=8/3a

8a=180

a=45/2(22.5)・・・③

③を①に代入、
60=135+b

b=-75

よって、y=45/2x-75(y=22.5x-75)となります。

(3)水の深さが90センチなので、y=90を(2)で求めた式に代入してxを求めます。

90=45/2x-75

165=45/2x

45x=330

x=330/45

x=22/3となりますので、22/3(3分の22)分後が答えになります。
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福島民報力だめし(2016数学38)~連立方程式&図形~

 2017-01-13
昨晩から今朝にかけてずいぶん雪が積もりましたね。
家の前を雪かきして、職場の駐車場も雪かきしたら一日分の体力を使い果たした感じです(^-^;

さて、数学の解説ですが、38回目は連立方程式と図形(三角形、多角形の和)のところです。 

今回の問題を解くのに必要なポイントは

・n角形の内角の和=180°×(n-2)

・外角の和=360°

・三角形の合同条件

です。忘れている人は習った内容をもう一度復習しておきましょうね。

それでは解説。

【1】連立方程式



(1)から(3)まではケアレスに気を付ければ大丈夫でしょう。

(4)は分数・小数を整数に直して計算します。

分数は30倍して、10x-6y=25・・・①
小数は10倍して、2x=3y・・・②

②を①に代入して、15y-6y=25→9y=25→y=25/9・・・③
これを②に代入して、2x=3×25/9=25/3→x=25/3÷2=25/6

x=25/6(6分の25)、y=25/9(9分の25)となります。

【2】多角形



(1)八角形の内角の和は、180°×(8-2)=180°×6=1080°

(2)外角の和は360°

(3)内角と外角を足すと180°です。一つの内角の大きさは一つの外角の4倍の大きさなので、外角5つで180°と考えます。すると、一つの外角は180°÷5=36°ですね。
36°の外角が10あつまると外角の和である360°になりますので、この正多角形は正十角形です。

【3】図形の角度を求める



(1)x=125-70=55°

(2)外角の和は360°なので、x=360-108-87-(180-75)=60°

(3)x=90+29+16=135°
三角形ABCと三角形BDCはともに、角DBC、角DCBを共有していると考えると、角xは角DBA、角BAC、角ACDの和と等しくなります。

(4)x=16+54=70°、y=180-62-70=48°

【4】連立方程式の文章題~その1



50円切手、80円切手をx枚、120円切手をy枚買ったとします。

枚数は、x+x+y=25→2x+y=25・・・①
代金の合計は、50x+80x+120y=1900→130x+120y=1900→13x+12y=190・・・②

①×12-②より、11x=110→x=10・・・③
③を①に代入してy=5

よって、50円切手10枚、80円切手10枚、120円切手5枚です。

【5】連立方程式の文章題~その2



去年の男子の人数をx人、女子をy人とします。

去年の人数は、x+y=730・・・①

今年の人数は、x×(1+0.05)+y×(1-0.06)=730-2
1.05x+0.94y=728、これを100倍して、105x+94y=72800・・・②

②-①×94より、11x=4180 → x=380・・・③
③を①に代入して、y=350

よって今年の人数は
男子:380×1.05=399人
女子:350×0.94=329人
です。

【6】証明問題は、模範解答が記載されていますので省略します。

福島民報力だめし(2016数学36)~図形の計量、方程式~

 2016-12-26
数学の36回目は、方程式・図形の計量・連立方程式の文章題ですね。
【1】の計算問題は特に解説するところがないので省略します。
ケアレスミスに気を付けてください。

【2】方程式や図形の小問



(1)比例式の問題
3x=4(x-2)を解きます。
3x=4x-8
-x=-8
x=8

(2)方程式の問題
x=-2を方程式に代入します。
5-(a+8)/3=-4
3倍して
15-a-8=-12
-a=-19
a=19

(3)角柱の体積と表面積を求める問題
角柱なので、(底面積)×(高さ)=6×8=48です。1/3をかけないように注意。
表面積は、(底面積)+(側面積)となるので、
底面積:6×2=12、側面積:10×8=80、12+80=92となります。

(4)半球の体積と表面積を求める問題

体積:4/3π×93=972π
半球なので972π÷2=486π

表面積:4π×92=324π
半球なので324π÷2=162π
半球の底面部分の面積:9×9×π=81π
162π+81π=243π

【3】円錐についての問題


(1)底面積:6×6×π=36π

(2)底面の円周:2π×6=12π

(3)側面のおうぎ形の面積は、10×10×π×12π/20π=100π×3/5=60π
よって、(おうぎ形の面積):(底面積)=60π:36π=5:3

(4)おうぎ形の中心角:360°×12π/20π=360°×3/5=216°

(5)表面積:(底面積)+(側面積)=36π+60π=96π

(6)体積:(底面積)×(高さ)×1/3=36π×8×1/3=96π

【4】方程式の文章題



(1)食塩水の問題
食塩の量をまず考えましょう。食塩水200g中に10%の食塩が含まれていますので、食塩の量は、

200g×10%=20g

ですね。

次に薄めた後の食塩水の量をxgとし、先ほどとおなじく食塩の量を考えます。今度は8%なので、

xg×8%=20g

という式ができます。これを解いて、x=250となります。

注意してもらいたいのは、200gの食塩水を薄める場合の水の量を聞いているので、求めた250から200を引かなくてはならないことです。

引いた残りの50gが答えとなります。

(2)果物の個数の問題
はじめ、なしをx個、桃をy個買う予定であったとします。
当初の予定していた代金は、
(150x+200y)円

でしたが、個数を取り違えたため、
(150y+200x)円

となりました。予定よりも250円高くなったので、式をつくると、

(150x+200y)+250=150y+200x

となります。整理すると、

-50x+50y=-250

50で割りましょう。

-x+y=-5・・・①

また、なしと桃の個数は合わせて15個なので、
x+y=15・・・②

①+②より、
2y=10、y=5・・・③

③を②に代入しx=10

よって、なし10個、桃5個となります。

(3)長いすと生徒数の問題

長いすをx脚、生徒数をy人とします。
長いす1脚に3人かけさせたら79人座れなかったので、
3x+79=y・・・①

次に、1脚に5人づつかけさせたら1脚だけ4人掛けとなったので、
5(x-1)+4=y

整理して
5x-1=y・・・②

①-②より
-2x+80=0
-2x=-80
x=40・・・③

③を①に代入、
3×40+79=199
よって生徒数は199人となります。

福島民報力だめし(2016数学34)~正負の数、比例・反比例~

 2016-12-14
今朝の郡山市は、雪が積もって家の前を雪かきするのが大変でした(*_*;
冬本番ですね。寒さに気をつけていきましょう。
1日遅れましたが、数学の34回目を解説します。正負の数、比例・反比例からの出題です。

【1】正負の数計算問題

※左から順番に計算はしないこと。掛け算や割り算を先に計算しましょう。模試などのテストで最初にこれを出されると意外と第1問目を間違える人が多いのですよ。

(1)-3-(-4)+7=-3+4+7=8

(2)7-2×(-3)-8÷(-2)=7+6+4=17

(3)(-5)2-6 2÷3=25-36÷3=25-12=13

(4)1-(-3/4) 2÷1/4=1-9/16×4=1-9/4=-5/4


【2】正負の数、比例・反比例の小問


(1)「以上」「以下」「未満」の語句の意味を理解することがポイント。答えは±3、±4、±5、±6、±7の10個です。

(2)省略します。

(3)比例の式なのでy=axの式にx=-2、y=3を代入すること。
3=-2aより、a=-3/2、よってy=-3/2x(y=-1.5x)

(4)反比例の式なのでxy=aにx=-6、y=5を代入すること。
a=-30となるので、xy=-30の式にx=15を代入すると、y=-2。

(5)関数の式にx=3を代入すると、y=8となるので、x=9のときにy=aになると考えること。
式にx=9、y=aを代入すると、9a=24となるので、a=8/3となります。

(6)文字で考えるのが苦手なら具体的な値を代入しましょう。ここではa=1,b=-1とします。
ア:a=1
イ:b=-1
ウ:a+b=1-1=0
エ:a-b=1-(-1)=2
オ:b=a=-1-1=-2
カ:a+2b=1+2×(-1)=-1
キ:a-2b=1-2×(-1)=3

よって最も大きい値はキ、最も小さい値はオとなります。

【3】省略します。

【4】省略します。

【5】比例と反比例のグラフの問題

(1)6の約数を考えます。1,2,3,6ですが、負の場合も含まれますので、±1、±2、±3、±6の8個になります。

(2)△OAPの底辺をOAとすると、OA=4となります。面積が8なので高さの値は4です。点O、点Aのy座標は0ですから点Pのy座標は±4となります。
y=4のとき、②の式に代入して計算すると、4x=6より、x=3/2、
y=-4のとき、同様に-4x=6より、x=-3/2となります。

(3)交点の座標を求めるので、①と②の連立方程式と考えられますね。消去法よりも代入法で解きましょう。
①:y=2/3x
②は両辺にxをかけてxy=6にした方が計算が楽になります。
①の式を②に代入すると、2/3x=6、両辺に3をかけて2x=18、両辺を2で割ってx=9よりx=±3になります。
x=3のとき、②の式に代入して、y=2
x=-3のとき、同様にy=-2となります。

福島民報力だめし(2016数学32) ~平方根~

 2016-11-29
数学の32回は、平方根です。
今回は計算問題は省略します。ルートの計算過程をブログで表現するのはしんどいので(^_^;)

で、【5】の文章題から解説します。
(1)2=ルート4、3=ルート9なので、4≦a<9をみたす自然数aの値を求めます。
よって、a=4,5,6,7,8となります。

(2)与えられた式を変形して、x-4=ルート3とします。次に両辺を2乗します。
すると、x-8x+16=3となるので、両辺から16を引くと、
-8x=3-16=-13となります。

(3)値を求める問題です。

①ルート5000=ルート50×ルート100=ルート50×10=7.071×10=70.71

②ルート450=ルート50×ルート9=ルート50×3=7.071×3=21.213

③ルート0.5=ルート50÷ルート100=ルート50÷10=7.071÷10=0.7071

④ルート8/10=ルート80/100
=ルート80÷ルート100=ルート5×ルート16÷10
=ルート5×4÷10=2.236×4÷10=0.8944

(4)180を素因数分解すると、2×3×5となるので、5をかければルートが取れますね。

(5)有理数と無理数を分ける問題。
ルート81/25は9/5、ルート0.16は0.4と同値なので、有理数となることに注意。√がついていれば必ず無理数ではありませんよ。

【6】球の体積・表面積に関する問題

(1)球の体積の公式V=4/3πr3にr=2ルート3を代入します。
4/3π×24ルート3=32ルート3πとなります。

(2)球の表面積の公式にS=4πr2にr=2ルート3、3ルート5をそれぞれ代入します。
球A:4π×12=48π
球B:4π×45=180π
よってA、B合わせた表面積は48π+180π=228πとなります。

(3)球Bの体積は4/3π×135ルート5=180ルート5π
180ルート5π÷32ルート3πを計算して15/8ルート15倍を求めます。
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