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福島民報力だめし(数学43)

 2012-03-05
【2】(5)立体の体積と表面積を求める問題。
まず体積から。
円すいの部分と円柱の部分の2つに分けて計算します。

底面の半径は三平方の定理から、
102-(14-6)2=36より、(半径)=6

よって、(円すいの体積)=6×6×π×(14-6)×1/3=96π
(円柱の体積)=6×6×π×6=216π

立体の体積は、96π+216π=312πとなります。

続いて表面積。
まず、上の扇形の部分の面積を求めます。
扇形の弧の長さは、底面の円周と同じ長さなので、
2×π×6=12π
よって、扇形の面積は、
1/2×12π×10=60π・・・①

次に円柱部分の表面積。
縦6cm、横12πの長方形なので、面積は、
6×12π=72π・・・②

最後に底面の面積、
6×6×π=36π・・・③

①+②+③=168πが立体の表面積になります。

【3】連立方程式の問題。
12%の食塩水をxg、4%の食塩水をygとします。
x+y=280・・・①
0.12x+0.04y=0.06×280・・・②
①×4-②×100として、
4x+4y=1120
12x+4y=1680より、-8x=-560,x=70・・・③
③を①に代入、y=280-70=210
12%の食塩水70g、4%の食塩水210gとなります。

【4】
(1)AB2+BC2=AC2より、AC2=72、AC=6ルート2
頂点OからABCDに引いた垂線とABCDとの交点をEとおくと、
OE2=OA2-1/2AC2=81-18=63,OE=3ルート7
よって、求める体積は、
6×6×3ルート7×1/3=36ルート7
となります。

(2)三角形OABの面積を2通りの方法で算出します。
点Oから辺ABに垂線を引いたとき、その垂線の長さは、
OA2-1/2AB2=81-9=72より、6ルート2となります。
よって、三角形OABの面積は、
6×6ルート2×1/2=18ルート2・・・①

また、三角形OABの面積は、
OA×BH×1/2・・・②としても表せます。
①=②なので、OA=9より、
②は9/2BH、
9/2BH=18ルート2、9BH=36ルート2、BH=4ルート2となります。

(3)
三角形ABHは直角三角形なので、
AH2=AB2-BH2=36-32=4、AH=2
よって、OA:HA=9:2

HからABCDに引いた垂線とABCDの交点をFとおくと、
OE:HF=OA:HA=9:2となります。
OE=3ルート7より、
3ルート7:HF=9:2,9HF=6ルート7、HF=2/3ルート7

よって、求める体積は
6×6×2/3ルート7×1/3=8ルート7
となります。


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