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福島民報力だめし(2016数学25) ~1次関数~

 2016-10-17
今回の数学の問題は1次関数です。2年生が今習っているところですね。
グラフを使った文章題は模試の大問としてよく出ます。

【1】1次関数の基本問題


(1)y=ax+bとすると、変化の割合が1/2より、a=1/2となるので、y=1/2x+b
この式にx=6,y=4を代入して、4=1/2×6+b→4=3+bより、b=1
よって、y=1/2x+1

(2)2x-3y=6をyについて解きます。
-3y=-2x+6→3y=2x-6→y=2/3x-2と変形できるので、この直線の傾きは2/3、切片は-2です。

(3)2つの方程式を連立させて解きます。
6x+5y=-1・・・①
3x-2y=-5・・・②

①-②×2より、9y=9→y=1・・・③
③を①に代入して、6x+5=-1→6x=-6→x=-1
よって交点の座標は(-1,1)となります。

【2】1次関数の文章題(線香の長さと火をつけてからの時間に関する問題)


(1)1次関数の式を求めます。
3分間で4センチ短くなるので、1分間では4/3センチ短くなります。
式は、(線香の長さ)=(全体の長さ)-(燃えた線香の長さ)で求められるので、
y=18-4/3x →y=-4/3x+18となります。
なお、別解として、
x=0のときy=18、x=3のときy=18-4=14、x=6のときy=14-4=10・・・となることから、
y=ax+bに(x,y)=(0,18),(6,10)を代入して、a=-4/3,b=18を求めることもできます。

(2)線香の長さが9センチになればよいので、(1)の式にy=9を代入して、
9=-4/3x+18→-9=-4/3x→-27=-4x→x=27/4となります。

(3)線香Bは20センチで、2分間で3センチで短くなるので、線香Aと同じように式を作ります。1分間に3/2センチの割合で短くなるので、y=20-3/2x→y=-3/2x+20という式になります。
この式と(1)で求めた式を連立方程式で解きます。
y=-4/3x+18・・・①
y=-3/2x+20・・・②
ですが、分数よりは整数のほうがミスが少ないので、①を3倍、②を2倍して、
3y=-4x+54・・・③
2y=-3x+40・・・④
yを消去したいので、③を2倍、④を3倍します。
6y=-8x+108・・・⑤
6y=-9x+120・・・⑥
⑤-⑥より、
0=x-12→x=12より、残りの長さが同じになるのは12分後になります。
また、この時の残りの長さを求めるには、x=12を①に代入します。すると、y=2となりますので、2センチが答えになります。

【3】グラフと図形(台形)に関する問題


(1)直線の式を求める問題。点A点Bの座標が分かるので、簡単ですね。
切片が2、点Aから点Bに進むのに、xが4増えれば、yが2増えるので、傾きは2/4=1/2となります。よって直線lは、y=1/2x+2となります。

(2)台形の面積を求める問題。
OD=CDという事は点Cのx座標とy座標が同じになることに気づけば、あとは楽です。
(1)で求めた直線lの式の文字を2つともxかyに統一して、解けば4となりますので、あとは台形の面積を求めるだけです。
(2+4)×4÷2=12となります。

【4】台形上を動く点に関する問題


(1)x=2のときyの値を求める問題
x=2のとき、AP=2なので、
(四角形APCDの面積)=(台形ABCDの面積)-(三角形PBC)より、
y={(8+12)×6÷2}-(4×12÷2)=60-24=36となります。

(2)点Pが辺ABを動く時の式を求める問題
点Pが辺AB上を動くので、問題文にある、x=0,y=24と(1)で求めたx=2,y=36から式を求めます。
y=ax+bにx=0,y=24を代入し、b=24になります。
y=ax+24にx=2,y=36を代入し、36=2a+24→12=2a→a=6になります。
よってy=6x+24になります。

(3)四角形APCDが48cm2となるxの値を求める問題
ア)まず、点Pが辺AB上にある場合を考えます。
(2)で求めたy=6x+24にy=48を代入し、xを求めます。
48=6x+24 → 24=6x → 4=x となるので、4秒後という答えがでます。
イ)次に点Pが辺BC上を動く場合を考えます。
点Pが辺BC上を動く時の四角形APCDの面積は、
(四角形ABCD)-(三角形ABP)となるので、ここから、
y={(8+12)×6÷2}-{(x-6)×6÷2}=60-3(x-6)=-3x+78
よって、点Pが辺BC上を動く時の式はy=-3x+78となります。
ここに、y=48を代入して、
48=-3x+78→-30=-3x→10=xとなるので、10秒後という答えがでます。
ア)とイ)より答えは4秒後と10秒後になります。

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