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平成23年度県立高校2期選抜問題解説(数学)

 2011-03-09
解くのに手間がかかりそうな最後の2問を解説します。
図を挿入するのは、私の力量では大変な労力を必要とするので(^_^;)
問題用紙などに、実際に図を書いてみてください。


6.
(1)A,Bともにy=ax2をとおるので、
A(-8,64a),B(4,16a)と表せる。
直線lの傾きが-1なので、
(xの増加量)=4-(-8)=12・・・①
(yの増加量)=16a-64a=-48a・・・②
②÷①=-4aが-1となるaをもとめる。
よって、a=1/4となる。

(2)
①三角形ABCと三角形BCDの高さは等しく面積比が3:2より、
AB:CD=3:2となる。・・・①
(1)より、A(-8,16),B(4,4)なので、三平方の定理より、AB=12ルート2・・・②
①、②より、CD=8ルート2・・・③

Cの座標を(t,1/4t2)とおくと、③より、Dのx座標はt-8となり、y座標は1/4(t-8)2となる。
線分CDは直線lと傾きが等しいので-1となる。
(xの増加量)=t-(t-8)=8・・・④
(yの増加量)=1/4t2-1/4(t-8)2=4t-16・・・⑤
⑤÷④=1/2t-2が-1となるtを求める。
よって、t=2となる。


(四角形ABCDの面積)=(AB+CD)×(高さ)÷2=10ルート2×(高さ)
求める直線の式が直線lと交わる点をEとおくと、
(三角形BCEの面積)=(四角形ABCDの面積)÷2=5ルート2×(高さ)となる。・・・①
また、
(三角形BCEの面積)=BE×(高さ)÷2・・・②とも表せるので、
①=②より、BE=10ルート2となる。
Bを通るx軸に平行な直線をひき、また、
Eを通るy軸に平行な直線をひくと、90°、45°、45°の直角三角形ができるので、
B(4,4)と辺の比より、Eのx座標は4-10=-6,y座標は4+10=14となる。
よって、
E(-6,14)、C(2,1)をとおる直線の式を求める。
y=ax+bにそれぞれの値を代入。
14=-6a+b・・・③
1=2a+b・・・④
③-④より、13=-8a→a=-13/8・・・⑤
⑤を④に代入して、
1=-13/4+b→b=17/4
よって、y=-13/8x+17/4となる。


(1)
BH2=AB2+AD2+DH2=48
BH=ルート48=4ルート3

(2)

(立方体の体積)=4×4×4=64・・・①
(四角すいの体積)=①÷8=8・・・②
また、
(四角すいの体積)=(四角形EFGH)×(高さ)×1/3=16/3×(高さ)・・・③
②=③より(高さ)=3/2・・・④
Pから四角形EFGHに降ろした交点をP’とする。
三角形BFHと三角形PP'Hにおいて、
三角形BFHと三角形PP'Hは相似であることから、
BF:PP'=BH:PH・・・⑤
④より、4:3/2=8:3=BH:PH
よって、BP:PH=(8-3):3=5:3となる。


Qから辺EHに垂線を引き、辺EHとの交点をQ'とする。
三角形P'GFと三角形P'Q'Hにおいて、
この2つの三角形は相似であることから、
FG:HQ'=GP':Q'P'=5:3・・・①
FG=4より、HQ'=12/5・・・②
次に、
GQ'2=GH2+HQ2=16+144/25=544/25・・・③

三角形QQ'Gと三角形PP'Gにおいて、
この2つの三角形は相似であることから、
①より、
QQ':PP’=(GP'+QP'):GP'=8:5・・・④
前問よりPP'=3/2なので、
QQ'=12/5・・・⑤

GQ2=GQ'2+QQ'2なので、
③,⑤を代入し、GQ2=688/25
GQ=4ルート43/5・・・⑥

GP:PQ=5:3より、⑥×3/8=3ルート43/10となる。
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