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福島民報力だめし(数学40)

 2012-02-15
【1】(3)立体の体積を求める問題。
台形とは考えずに、大きな円すいから小さな円すいを
とった形と考えてください。

大きな円すいの高さをxとすると、辺の比の関係から
6:3=x:(x-6)となります。
これを解くと、x=12となります。

大きな円すいの体積は、
6×6×π×12×1/3=144π・・・①
です。

次に小さな円すいの体積を求めます。
高さは12-6=6なので、体積は、
3×3×π×6×1/3=18π・・・②
です。

よって、求める体積は①-②=126πとなります。

【2】(2)y=ax2
①変域を求める問題。
xの変域が0を含んでいますので、yの変域の片方は0だと考えます。
-2と3とでは3の方が0からの距離(絶対値)が大きいので、
x=3を式に代入し変域の値を求めます。
y=2×3×3=18、よって、yの変域は、
0≦y≦18となります。

②変化の割合は(yの増加量)/(xの増加量)で表せます。
xの増加量は4-1=3
yの増加量は2×4×4-2×1×1=30
よって、30÷3=10となります。

【3】方程式の文章題。
Aさん、Bさん、Cさんそれぞれの支払った額をA,B,Cとします。
3人の支払った額は15000円なので、
A+B+C=15000・・・①
また、Bさんの支払額はAさんCさんの合計の2/3なので、
B=(A+C)×2/3・・・②
①は、B+(A+C)=15000・・・①’ともいえるので、これに②を代入します。

B+3/2B=15000、5/2B=15000、5B=30000、B=6000となります。

Aさんの支払った金額はBさんより1700円少ないので、
6000-1700=4300円、
Cさんの支払った額は、15000-6000-4300=4700円となります。

問題では、3人の支払額が同じになるように、差額をBさんに支払うので、
Aさんは5000-4300=700円を、
Cさんは5000-4700=300円をそれぞれBさんに支払うことになります。

【4】一次関数・相似の問題。
(1)まず直線lの式を求めます。
(0,3),(3,0)を通るので、傾きが-1、切片が3です。
よって、y=-x+3となります。

次に点Pの座標を求めます。x座標が2なのでy座標は-2+3=1です。
直線lはO(0,0),P(2,1)をとおるので、傾きが1/2、切片が0です。
よって、y=1/2xとなります。

(2)
i)三角形PCBが三角形POAより上にある場合。
x座標だけを見ると、
AP:BP=(3-2):BP=2:1ですので、BP=1/2となります。
Pのx座標は2なので2-1/2=3/2がBのx座標です。
点Bのy座標は-3/2+3=3/2となります。

同様にCについて、OP:CP=2:1なので、
(Pのx座標)+1=3となります。
y座標は1/2×3=3/2です。

よって、
B(3/2,3/2)、C(3,3/2)となります。

ii)三角形PCBが三角形POAと同じ側にある場合。
これもx座標だけを見ます。
今度はBは、Pよりも右側にあるので、
2+1/2=5/2がBのx座標となります。
Bのy座標は、-5/2+3=1/2です。

同様にCについて、CはPよりも左にあるので、
(Pのx座標)-1=1となります。
y座標は1/2×1=1/2です。

よって、
B(5/2,1/2),C(1,1/2)となります。
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