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福島民報力だめし(2016数学23) ~文字式に関する問題~

 2016-09-30
力だめし数学の23回目は文字式に関する問題ですね。等式の変形や、規則性の発見などは、実力テストなどでも、正答率の低い範囲です。そろそろ10月になるので、1年生、2年生の既習領域も復習しておきましょう。

【1】式の計算

(1)a÷a2×(-a)3=a×(-a3)/a2=-a4/a2=-a2
(2)14x2y÷7xy2×2y2=28x2y2/7xy2=4x
(3)1/2×2x+1/2×3y-3/4×4x-3/4×(-2y)=x+3/2y-3x+3/2y=-2x+3y
(4)12×(2a-b)/6-12×(a-2b)/4=2(2a-b)-3(a-2b)=4a-2b-3a+6b=a+4b

【2】等式の変形


等式の性質を利用します。
a=bが成り立つなら、
1.a+m=b+m
2.a-m=b-m
3.am=bm
4.a/m=b/m(m≠0)

(1)3a-2b=6→ -2b=-3a+6→ 2b=3a-6→ b=3/2a-3
(2)8xy=6→ xy=3/4→ x=3/4y
yで割りますのでyは分子ではなく分母にきますので注意してください。
(3)l=a+b+c→ a+b+c=l→ c=l-a-b
左辺と右辺を反対にして考えたほうが符号のミスが少なくなります。
(4)V=1/2abh→ 1/2abh=V→ abh=2V→ h=2V/ab
(5)l=2(2πr+h)→ l=4πr+2h→ 2h+4πr=l→ 2h=l-4πr→ h=l/2-2πr
(6)2/3x+2y-4=0→ 2x+6y-12=0→ 2x=-6y+12→ x=-3y+6

【3】文字式の利用


文字式で表して、等式を変形しましょう。
公式に与えられた文字をあてはめられるかがポイントになります。

(1)a×(高さ)×1/2=4ah
よって、(高さ)×1/2a=4ah
両辺に2をかけて、(高さ)×a=8ah
両辺をaで割って(高さ)=8h

(2)(底面積)×(高さ)×1/3=(体積)であり、
(底面積)=r×r×π
(高さ)=h
(体積)=Vを代入します。
1/3πr2h=Vとなるのでこの等式を変形します。
両辺に3をかけて、πr2h=3V
両辺をπr2で割って、h=3V/πr2

【4】式の値


(1)
①(2x2-x)-(3x2-1)+x+1=2x2-3x2-x+x+1+1=-x2+2
②2x2-x-3x2+1-x-1=2x2-3x2-x-x+1-1=-x2-2x
③-2(2x2-x)+(3x2-1)-2(x+1)=-4x2+2x+3x2-1-2x-2=-4x2+3x2+2x-2x-1-2=-x2-3

(2)
①にx=0を代入すると2、②にx=0を代入すると0となり、式の値が正の数になるので選ばない。
③は-x2も-3も負の数なので、常に負の数になる。よって③が正解。

【5】規則性の発見


(1)1番目なら1、2番目なら4、3番目なら7というように1つ増えるとカードの数は3大きくなる。n番目の時は1に3を(n-1)回足せばよいので1+3(n-1)。これを展開して整理すると、3n-2となります。

(2)1番目のとき1×1=1、2番目のとき2×2=4、3番目のとき3×3=9、4番目のとき4×4=16なので、n番目のとき、n×n=n2となります。
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