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福島民報力だめし(数学42)

 2011-01-19
【1】因数分解の問題。計算なので略します。

【2】文字式の問題。
(1)問題の内容からAさんのテストは以下のように表せると思います。
1回目a点
2回目a点
3回目a点
4回目a点
5回目a点
6回目b点
この平均を求めるので、分母には6を、分子にはa+a+a+a+a+b → 5a+bがきます。

(2)
a円の品物に30%の利益を付けるということは、
利益はa×30% → a×0.3 → 0.3a円/個となります。
100個売れたので、その利益は0.3a×100=30aです。・・・①

次に定価の2割引きの価格を考えます。
定価は30%の利益を加えた価格なので、a+0.3a=1.3aとなります。
1.3aの2割引きは、1.3a-(1.3a×0.2)=1.3a-0.26a=1.04aです。
この場合の利益は1.04aから品物のa円を引いた0.04a円/個となります。

定価の2割引きで売れた個数は200-100=150個なので、
この場合の利益は0.04a×150=6aとなります。・・・②

①+②より36aとなります。

【3】一次関数のグラフの問題。
(1)Dのy座標はAのy座標と同じ8なので、
C(6,0)D(0,8)をとおる直線の式を求めます。
y=ax+bにそれぞれの値を代入します。
0=6a+b・・・①
8=b・・・②
②を①に代入し、6a+8=0 → a=-4/3
よって、y=-4/3x+8となります。

(2)
平行四辺形ABCDの面積はAD×ODで求められるので、4×8=32です。
三角形AEBの面積はその1/4なので8です。

まず、直線ABの式を求めます。
A(-4,8) B(2,0)なので、
y=ax+bに代入し、
8=-4a+b・・・①
0=2a+b・・・②
①-②より-6a=8 → a=-4/3・・・③
これを②に代入し、b=8/3
よってy=-4/3x+8/3

次に直線ABとy軸との交点をFとすると、
F(0,8/3)となります。
そうすると三角形AEB=三角形AEF+三角形BEFとなるので、
それぞれの面積を求めます。
E(0,y)とおくと、
三角形AEFの面積=EF×AD÷2 → (y-8/3)×4÷2 → 2(y-8/3)・・・④
三角形BEFの面積=EF×OB÷2 → (y-8/3)×2÷2 → (y-8/3)・・・⑤
よって、三角形AEBの面積は④+⑤より、3(y-8/3)=3y-8 と表せます。・・・⑥

3y-8=8 → 3y=16 → y=16/3 となるので、E(0,16/3)となります。

【4】図形の問題。
(1)角AOBは角ACBの中心角なので、55×2=110度
(2)角BOCは角BACの中心角なので、60×2=120度
ODは辺BCの垂直二等分線なので、角BOD=角COD=60度
よって、角OCD=30度になります。
そうすると、ODとCDの辺の比は1対ルート3になります。
OD=2センチより、CD=2ルート3センチなり、
三角形OCDの面積はCD×OD÷2より2ルート3センチとなります。

(3)証明問題なので略します。
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