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福島民報力だめし(数学45)

 2011-02-05
【1】と【3】はそれぞれ計算問題と証明問題なので略します。

【2】確率の問題。
球Pは1秒後にはB,C,Dのどれかにとまります。
球Qも1秒後にはA,C,Dのどれかにとまります。
(P,Q)の組み合わせは、
(B,A)(B,C)(B,D)(C,A)(C,C)(C,D)(D,A)(D,C)(D,D)の9とおり。
同じ頂点に重ならないのは、(C,C)(D,D)以外の7とおり
なので確率は9分の7になります。

【4】立体の容積・面積を求める問題。
(1)こぼれた水の量を求める問題。
容器に入っている水の量
12×12÷2×5=360・・・①
残っている水の量
(四角形BCEF)×DE÷3=6×12×12÷3=288・・・②
①-②より360-288=72となります。

(2)
三角形DEFは直角二等辺三角形なので、
DE:EF:DF=1:1:ルート2です。
DE=EF=12より、DF=12ルート2・・・③です。

EからDFに垂直二等分線をひき、DFとの交点をGとします。
DG=GF=6ルート2です。
三角形DEG、三角形EFGも直角二等辺三角形なので、
DG=GF=EG=6ルート2・・・④と言えます。

BからGに直線を引くと、三角形BDFの面積は、
DF×BG÷2・・・⑤で求められます。
三平方の定理より
BG2=EG2+BE2なので、④とBE=6を代入し、
BG=ルート108=6ルート3・・・⑥となります。
③、⑥を⑤に代入
12ルート2×6ルート3÷2=36ルート6となります。
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